Haley, eine Personalfachfrau, ist damit beauftragt, die Ergebnisse von Umfragen zur Mitarbeiterzufriedenheit von Hunderten von Mitarbeitern zu analysieren. Die Daten sind überwältigend, und sie muss Erkenntnisse präsentieren, die klar, umsetzbar und leicht zu verdauen sind.
Aber wie kann sie aus all den Zahlen schlau werden, ohne sich im Rauschen der Daten zu verlieren? An dieser Stelle wird das Konzept der Standardabweichung unschätzbar wertvoll. Datenanalysten wie Haley stehen vor der Herausforderung, riesige Datenmengen in aussagekräftige Erkenntnisse zu verwandeln. Sie benötigen prägnante, leicht zu vergleichende Maße, die die wichtigsten Funktionen großer Datensätze effektiv darstellen.
In diesem Artikel erfahren Sie, wie das Verständnis und die Anwendung der Standardabweichungsformel Ihnen dabei helfen können, tiefere Einblicke zu gewinnen und fundiertere Entscheidungen zu treffen.
Ein grundlegendes Werkzeug im Arsenal eines Datenanalysten ist die Standardabweichung.
Die Standardabweichung (SD) ist definiert als die Quadratwurzel der Varianz eines Datensatzes. Sie ist ein wichtiges Maß in der deskriptiven Statistik, das zeigt, wie weit die einzelnen Datenpunkte vom Mittelwert des Datensatzes entfernt sind.
Einfacher ausgedrückt, quantifiziert sie die durchschnittliche Entfernung eines Datenpunkts vom Verteilungszentrum.
In unserem Beispiel von Haley, einer Personalberaterin, nehmen wir an, sie hat gerade Antworten aus einer umfangreichen Assessment des Schulungsbedarfs gesammelt. Sie hat viele Daten, aber sie braucht eine Möglichkeit, um herauszufinden, wie "verteilt" die Antworten sind. Das ist der Punkt Standardabweichung kommt in.
Vereinfacht ausgedrückt, gibt sie an, wie stark jede einzelne Antwort (z. B. eine Assessment zu Schulungsthemen) vom Durchschnitt oder der "Mitte" der Daten abweicht. Wenn die Standardabweichung klein ist, bedeutet dies, dass die meisten Antworten ziemlich ähnlich sind und nahe am Durchschnitt liegen. Ist die Standardabweichung jedoch groß, weichen die Antworten stark voneinander ab, und es gibt eine größere Vielfalt an Meinungen oder Bedürfnissen.
Wenn beispielsweise die meisten Mitarbeiter die gleichen Schulungsprogramme für notwendig halten, ist die Standardabweichung gering. Wenn einige Mitarbeiter bestimmte Fähigkeiten für wichtig halten, während andere meinen, sie bräuchten ganz andere Schulungen, ist die Standardabweichung größer.
Als Personalberaterin hilft das Verständnis der Standardabweichung Haley dabei, zu erkennen, wie einheitlich oder unterschiedlich die Schulungsbedürfnisse ihrer Mitarbeiter sind, und erleichtert so die Entwicklung eines auf die Gruppe zugeschnittenen Programms.
Die Standardabweichung ist ein Maß für die Variabilität oder Streuung innerhalb einer quantitativer Datensatz.
Während Stichproben- und Populationsabweichungen diese Streuung ebenfalls messen, wird die Standardabweichung in denselben Einheiten ausgedrückt wie die ursprünglichen Daten in der statistischen Grundgesamtheit, wodurch sie viel einfacher zu interpretieren ist.
Durch das Verständnis der Standardabweichung erhalten wir wertvolle Einblicke in die Konsistenz, Vorhersagbarkeit und das Risiko, das mit den von uns analysierten Daten verbunden ist.
Die Standardabweichung ist ein Maß für die Variabilität oder Streuung innerhalb einer quantitativer Datensatz.
Während Stichproben- und Populationsabweichungen diese Streuung ebenfalls messen, wird die Standardabweichung in denselben Einheiten ausgedrückt wie die ursprünglichen Daten in der statistischen Grundgesamtheit, wodurch sie viel einfacher zu interpretieren ist.
Es ist wichtig zu wissen, dass die Begriffe S und σ häufig synonym verwendet werden, aber sie sind nicht dasselbe. Wenn jemand nicht angibt, welche SD er meint, bezieht er sich in der Regel auf S, auch wenn er das Symbol σ verwendet.
Es gibt zwei Standardabweichungsgleichungen, eine für Grundgesamtheiten und eine für Stichproben. Je nachdem, ob Sie die Formel erweitern und vereinfachen, kann jede Gleichung auf zwei Arten geschrieben werden.
Die Standardabweichung lässt sich am einfachsten anhand ihrer mathematischen Definition als Quadratwurzel der Varianz der Grundgesamtheit berechnen:
Gleichung 1: Formel für die Standardabweichung der Grundgesamtheit (Bildquelle: vom Autor erstellt)
Wo:
- σ ist die Populationsstandardabweichung
- Σ bezeichnet die Summe der...
- xi ist jeder Datenpunkt
- μ ist der Populationsmittelwert
- N ist die Gesamtzahl der Datenpunkte
Wir können die obige Formel erweitern und vereinfachen, um eine zweite, rechnerisch effizientere Methode zur Berechnung von σ zu erhalten:
Gleichung 2: Erweiterte Formel für die Populationsstandardabweichung (Bildquelle: vom Autor erstellt)
Die Variablen sind dieselben wie oben. Der wichtigste Unterschied ist, dass wir den Mittelwert der Grundgesamtheit (μ) nicht benötigen.
Für die Stichprobe ist die SD-Formel sehr ähnlich, mit dem Unterschied, dass wir 1 vom Nenner innerhalb der Quadratwurzel abziehen:
Gleichung 3: Formel für die Standardabweichung der Stichprobe (Bildquelle: vom Autor erstellt)
Wo:
- S ist die Stichprobenstandardabweichung.
- x̄ ist der Stichprobenmittelwert.
- n ist der Stichprobenumfang oder die Anzahl der Datenpunkte
- Die anderen Symbole sind dieselben wie oben.
Wie zuvor gibt es eine erweiterte Version der Formel für die Stichprobenstandardabweichung:
Gleichung 4: Erweiterte Formel für die Stichprobenstandardabweichung (Bildquelle: vom Autor)
Die Variablen sind dieselben wie zuvor.
Manchmal ist es hilfreich, die Standardabweichung als Prozentsatz des Mittelwerts auszudrücken. Auf diese Weise erhält man die relative Standardabweichung, auch bekannt als Variationskoeffizient (CV):
CV = (σ / μ) * 100% oder CV = (S / x̄) * 100%
Die Standardabweichung ist nicht nur eine Zahl - sie ist ein leistungsfähiges Werkzeug, um aussagekräftige Schlussfolgerungen aus Ihren Daten zu ziehen. Hier erfahren Sie, wie Sie die Standardabweichung in verschiedenen Kontexten interpretieren können:
- Vergleich von Datensätzen: Wenn zwei Datensätze den gleichen Mittelwert, aber unterschiedliche Standardabweichungen haben, hat derjenige mit der höheren Standardabweichung eine größere Variabilität.
- Identifizierung von Ausreißern: Datenpunkte, die um mehr als zwei oder drei Standardabweichungen vom Mittelwert abweichen, werden oft als Ausreißer betrachtet und erfordern möglicherweise weitere Untersuchungen.
Nehmen wir an, Haley, die Personalberaterin, analysiert die Ergebnisse einer Umfrage zum Schulungsbedarf. Nach Durchsicht der Daten stellt sie fest, dass die durchschnittliche Assessment für die Schulung von Kommunikationsfähigkeiten bei etwa 4 von 5 liegt, wobei eine geringe Standardabweichung darauf hindeutet, dass die meisten Mitarbeiter sich über die Bedeutung dieser Schulung einig sind.
Bei genauerer Betrachtung entdeckt sie jedoch einige Antworten, die weit außerhalb des allgemeinen Trends liegen. Ein Mitarbeiter bewertete das Kommunikationstraining mit einer 1 (sehr geringe Wichtigkeit), während ein anderer es mit einer perfekten 5 (extrem wichtig) bewertete, obwohl sich die meisten Antworten um die 4 gruppieren.
Dies ist wo Standardabweichung hilft. Diese ungewöhnlich niedrigen und hohen Werte werden als Ausreißerda sie weit vom Durchschnittswert entfernt sind. Mithilfe der Standardabweichung kann Haley diese extremen Datenpunkte, die nicht mit dem Gesamtmuster übereinstimmen, leicht identifizieren.
Durch das Markieren dieser Ausreißer kann Haley tiefer in das Verständnis eintauchen, warum diese Personen unterschiedliche Ansichten haben. Dies könnte auf spezifische Bedürfnisse oder Anliegen hinweisen, die für den Rest der Gruppe nicht sofort ersichtlich sind. Vielleicht hat der Mitarbeiter, der die Kommunikationsschulung mit 1 bewertet hat, eine andere Funktion, bei der Kommunikation nicht so wichtig ist, oder derjenige, der sie mit 5 bewertet hat, ist in einer Rolle mit Kundenkontakt tätig, bei der Kommunikationsfähigkeiten von entscheidender Bedeutung sind.
Die Verwendung der Standardabweichung zur Identifizierung dieser Ausreißer ermöglicht es Haley, auf individuelle Probleme einzugehen oder bestimmte Bereiche zu untersuchen, in denen Schulungsprogramme möglicherweise weiter verfeinert werden müssen. - Prozesskontrolle: Unter Herstellung oder Qualitätskontrolle hilft die Standardabweichung, die Prozessvariabilität zu verfolgen und Abweichungen von gewünschten Standards zu identifizieren.
- Finanzielle Analyse: Die Standardabweichung misst die Volatilität und Abweichung von Aktienrenditen, Anleihen und anderen Finanzinstrumenten.
Wie jedes statistische Werkzeug hat auch die Standardabweichung ihre Stärken und Schwächen.
- Weithin verwendet und verstanden: Die Standardabweichung ist ein bewährtes Maß, das in zahlreichen Bereichen verwendet wird und die Kommunikation Ihrer Ergebnisse erleichtert.
- Sie hilft Ausreißer zu identifizieren: Sie spiegelt die Auswirkungen von Extremwerten wider und liefert ein vollständigeres Bild der Variabilität der Daten.
- Annahme der Normalität: Sie ist am effektivsten, wenn die Daten einer Normalverteilung folgen. Für schiefe oder nicht-normale Wahrscheinlichkeitsverteilungen können andere Maße besser geeignet sein.
Quelle: https://integratedmlai.com/normal-distribution-an-introductory-guide-to-pdf-and-cdf/
- Empfindlichkeit gegenüber Ausreißern: Dies ist zwar eine Stärke, kann aber auch eine Schwäche sein, wenn extreme Werte auf Fehler zurückzuführen sind, die die Daten verzerren.
Um die praktische Anwendung der statistischen Analyse mit Hilfe der Standardabweichung zu veranschaulichen, führen wir eine Beispielberechnung der Standardabweichung im Rechenzentrumsmanagement durch.
Die Standardabweichung ist ein leistungsfähiges Werkzeug, das für die Verwaltung und Optimierung von Rechenzentren eingesetzt werden kann. Dieses Maß dient Software wie Nlyte zum Analysieren:
- Identifizieren von Servern, die zu viel oder zu wenig Strom verbrauchen
- Analysieren der Energienutzung und des Energieverbrauchs von Servern
- Monitor für Temperaturschwankungen
- Verstehen der Arbeitslastverteilung
Betrachten wir ein Szenario, in dem wir den Echtzeit-Stromverbrauch (in Watt) von 20 Servern in einem Rechenzentrum überwachen:
|
Server |
Power |
Server |
Leistung |
| 1 |
350 |
11 |
350 |
| 2 |
365 |
12 |
385 |
| 3 |
340 |
13 |
340 |
| 4 |
380 |
14 |
395 |
| 5 |
355 |
15 |
365 |
| 6 |
370 |
16 |
370 |
| 7 |
345 |
17 |
345 |
| 8 |
390 |
18 |
390 |
| 9 |
360 |
19 |
355 |
| 10 |
375 |
20 |
380 |
Berechnen wir nun die Standardabweichung unter Verwendung beider Versionen der oben beschriebenen Gleichungen. Wie üblich verwenden wir die Gleichungen 3 und 4 für die Stichprobenstandardabweichung.
Wenn Sie die Anwendung der SD-Gleichung für einen Datensatz wie den oben gezeigten üben möchten, müssen Sie Folgendes tun:
Addieren Sie alle Stromverbrauchswerte und teilen Sie sie durch die Gesamtzahl der Server (20). Da es sich um eine Stichprobe handelt, wird x̄ den Mittelwert bezeichnen:
x̄ = (350 + 365 + ... + 380) / 20 = 365.3
Ziehen Sie den Mittelwert von jedem Stromverbrauchswert ab:
x1 - x̄ = 350 - 365.3 = -15.3
x2 - x̄ = 365 - 365.3 = -0.3
…
x20 - x̄ = 380 - 365.3 = 9.8
Quadriere jede der soeben berechneten Differenzen, um die quadrierten Abweichungen zu erhalten. Hier ist, was wir bis jetzt haben:
|
Server (i) |
xi |
xi - x̄ |
(xi - x̄)² |
|
1 |
350 |
-15.3 |
232.6 |
|
2 |
365 |
-0.3 |
0.1 |
|
3 |
340 |
-25.3 |
637.6 |
|
4 |
380 |
14.8 |
217.6 |
|
5 |
355 |
-10.3 |
105.1 |
|
6 |
370 |
4.8 |
22.6 |
|
7 |
345 |
-20.3 |
410.1 |
|
8 |
390 |
24.8 |
612.6 |
|
9 |
360 |
-5.3 |
27.6 |
|
10 |
375 |
9.8 |
95.1 |
|
11 |
350 |
-15.3 |
232.6 |
|
12 |
385 |
19.8 |
390.1 |
|
13 |
340 |
-25.3 |
637.6 |
|
14 |
395 |
29.8 |
885.1 |
|
15 |
365 |
-0.3 |
0.1 |
|
16 |
370 |
4.8 |
22.6 |
|
17 |
345 |
-20.3 |
410.1 |
|
18 |
390 |
24.8 |
612.6 |
|
19 |
355 |
-10.3 |
105.1 |
|
20 |
380 |
14.8 |
217.6 |
Addieren Sie alle quadrierten Differenzen (in der letzten Spalte) und dividieren Sie durch die Gesamtzahl der Server minus 1 (wenn Sie σ berechnen, müssen Sie 1 nicht abziehen). Das Ergebnis ist die Stichprobenvarianz, S²:
(-15.3)² + (-0.3)² + … + (14.8)² = 5873.8
S² = 5873,8 / (20 - 1) = 309,1 W²
S = √(S²) = √309,1 = 17,6 W
Führen wir nun die gleiche Berechnung durch, verwenden aber die vereinfachte erweiterte Formel, um zu sehen, wie sie die Berechnung erleichtert.
x1² = 350² = 122,500
x2² = 365² = 133,225
…
x20² = 380² = 144,400
Addieren Sie alle quadrierten Werte:
Σxi² = 122.500 + 133.225 + ... + 144.400 = 2.674.025 W²
Σxi = 350 + 365 + ... + 380 = 7.305 W
Dies ist, was wir bisher haben:
|
Server (i) |
xi |
xi² |
|
1 |
350 |
122,500 |
|
2 |
365 |
133,225 |
|
3 |
340 |
115,600 |
|
4 |
380 |
144,400 |
|
5 |
355 |
126,025 |
|
6 |
370 |
136,900 |
|
7 |
345 |
119,025 |
|
8 |
390 |
152,100 |
|
9 |
360 |
129,600 |
|
10 |
375 |
140,625 |
|
11 |
350 |
122,500 |
|
12 |
385 |
148,225 |
|
13 |
340 |
115,600 |
|
14 |
395 |
156,025 |
|
15 |
365 |
133,225 |
|
16 |
370 |
136,900 |
|
17 |
345 |
119,025 |
|
18 |
390 |
152,100 |
|
19 |
355 |
126,025 |
|
20 |
380 |
144,400 |
|
Summe |
7,305 |
2,674,025 |
Auch hier werden wir verwenden (n - 1) als Nenner innerhalb der Quadratwurzel, da wir eine Stichprobe verwenden:
S = √ {[2.674.025 - (7.305)²/20)]/(20 - 1)} = 17,6 W
Beide Methoden liefern das gleiche Ergebnis, aber die letztere erfordert etwa die Hälfte der Berechnungen.
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Die Standardabweichung ist ein Maß für die Variabilität oder Streuung innerhalb einer quantitativer Datensatz.
Während Stichproben- und Populationsabweichungen diese Streuung ebenfalls messen, wird die Standardabweichung in denselben Einheiten ausgedrückt wie die ursprünglichen Daten in der statistischen Grundgesamtheit, wodurch sie viel einfacher zu interpretieren ist.
Eine große Restaurantkette ein Unternehmen, das sich inmitten eines Misserfolgs befand, bat ein Beraterteam um Hilfe, um herauszufinden, warum die Leistung gesunken war und wie sie sich verbessern konnte. Da es keine Datenerfassung gab, erstellten die Berater eine Umfrage, die sich auf drei Schlüsselergebnisse konzentrierte:
- Kundenzufriedenheit
- Mitarbeiterbindung
- Kunden zählen
Das Unternehmen verteilte eine Umfrage zum Engagement, die:
- Verknüpfung von Mitarbeiterergebnissen mit ihren tatsächlichen Geschäftsergebnissen
- Priorisierung der Faktoren, die den größten Einfluss auf die Geschäftsergebnisse haben
- Zeigt die geschäftlichen Auswirkungen von Verbesserungen bei diesen Faktoren
- Fokussierte Frontline-Manager auf die Faktoren, die den größten Einfluss zeigten
Sie fanden heraus, dass sechs Faktoren am meisten zur Verbesserung und zum Erfolg des Unternehmens beitragen:
- Ethik
- Teamarbeit
- Job fit
- Leitende Angestellte
- Kommunikation
- Verwaltung
Wenn sich die Restaurantbesitzer auf die Förderung von Mitarbeitern konzentrieren würden, die in diesen sechs Merkmalen eine Vier oder höher erreichen, könnten sie die folgenden Verbesserungen bei den drei wichtigsten Geschäftsergebnissen erwarten:
- 16% Steigerung der Kundenzufriedenheit
- 18.000 mehr Kunden pro Jahr
- 10% weniger Personalfluktuation
Aufgrund ihrer Bedeutung für die Normalverteilungsfunktion, die viele reale Datensätze modelliert, ist die Standardabweichung das am häufigsten verwendete Maß für die Streuung in der statistischen Analyse. Es ist jedoch wichtig, daran zu denken, dass sie nur ein Werkzeug unter vielen ist.
Andere Streuungsmaße sind:
- Varianz (ein Maß für die durchschnittliche quadrierte Varianz)
- Bereich der Werte (die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert. Ein breiterer Bereich bedeutet eine größere Streuung)
- Interquartilsbereich (oft abgekürzt als IQR, d. h. die Streuung der mittleren 50 % der Daten)
- Die mittlere absolute Abweichung (MAD), und andere.
Die effektivsten Datenanalysten verfügen über ein umfassendes Verständnis der verschiedenen statistischen Maße und wissen, wann sie die einzelnen Maße anwenden müssen, um die tiefgreifendsten Erkenntnisse zu gewinnen.
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Über den Autor:
Jeremy Moser
Jeremy ist Mitbegründer und CEO von uSERP, einer digitalen PR- und SEO-Agentur, die mit Marken wie Monday, ActiveCampaign, Hotjar und anderen zusammenarbeitet. Außerdem kauft und baut er SaaS-Unternehmen wie Wordable.io und schreibt für Publikationen wie Entrepreneur und Search Engine Journal.